Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to taki ciąg, którego każdy kolejny wyraz jest q razy większy od poprzedniego lub q razy mniejszy od poprzedniego. Przy czym liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Z definicji ciągu geometrycznego wyniki, że każdy kolejny wyraz ciągu geometrycznego mnożymy przez liczbę q.

Popatrz na przykłady.

Przykład 1.

2; 4; 8; 16; 32; …….

tutaj q = 2, ponieważ każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego. Jest to zatem ciąg rosnący.

Przykład 2.

2; -4; -8; 16; -32; …….

tutaj q = 12, ponieważ każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego. Jest to zatem ciąg niemonotoniczny, ponieważ nie jest to ciąg ani rosnący, ani malejący ani stały

Przykład 3.

tutaj , ponieważ każdy kolejny wyraz ciągu jest “pół razy większy od poprzedniego”, czyli w gruncie rzeczy o połowę mniejszy od poprzedniego. Każdy kolejny wyraz ciągu mnożony jest tu przez . Jest to ciąg malejący.

Aby można było ocenić, czy ciąg jest geometryczny, ciąg ten musi być minimum trzy-elementowy. Dlaczego? Popatrzmy na ciąg poniżej:

2; 4

Tu nie mamy możliwości ocenić, czy do liczby 2 dodajemy 2 (wtedy byłby to ciąg arytmetyczny), czy liczbę 2 mnożymy przez 2 (wtedy byłby to ciąg geometryczny). Natomiast popatrz na ciąg poniżej:

2; 4; 8

tu nie ma wątpliwości, że jest to ciąg geometryczny.

Z ciągiem geometrycznym związanych jest kilka wzorów, których znajomość jest niezbędna do rozwiązywania zadań. Oto najważniejsze z nich, które każdy maturzysta znać powinien.

Kolejny wyraz ciągu geometrycznego powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez pewną stałą wartość, zwaną ilorazem ciągu. Możemy zapisać to następująco: