Wprowadzenie do funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem ogólnym:
f(x) = ax2 + bx + c
gdzie:
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/nierownasie-1.png)
Co oznacza powyższy zapis? Otóż:
- Liczba stojąca przy x2 należy do zbioru liczb rzeczywistych, ale musi być liczbą różną od zera (nie może być równa zero). Dlaczego? Jeśli pod liczbę a podstawimy zero, to uzyskamy następujące wyrażenie:
f(x) = 0 * x2 + bx + c
jeśli cokolwiek mnożymy przez zero, to w rezultacie zawsze otrzymujemy zero, zatem powyższe wyrażenie ma postać:
f(x) = bx + c
czyli otrzymujemy wrażenie liniowe, które w tym przypadku jest funkcją liniową - Zwróć uwagę na to, że mamy tu zapis: f(x). Zapis ten oznacza, że wyrażenie traktujemy jako funkcję, a nie jako równanie czy nierówność kwadratową
Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola. Spójrz na przykładowe wykresy funkcji kwadratowej
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/wykresFkwadratowej.png)
Jak widzisz, ramiona paraboli mogą być uniesione do góry lub do dołu. Od czego to zależy?
- jeśli a> 0 to ramiona zawsze są uniesione do góry
- jeśli a<0 to ramiona paraboli są zawsze opuszczone do dołu
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa może mieć:
- dokładnie dwa miejsca zerowe
- dokładnie jedno miejsce zerowe
- brak miejsc zerowych
W celu oceny ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej, należy wyznaczyć deltę. Deltę liczymy ze wzoru:
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/delta.png)
gdzie a to wartość stojąca przy x2, b to wartość stojąca przy x, a c to wyraz wolny
- jeśli delta ma wartość większą od zera, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe
- jeśli delta ma wartość równą zero, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe
- jeśli delta ma wartość mniejszą od zera, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych
W tabeli poniżej przedstawiono wzory na obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej w zależności od wartości delty
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/mijejscazerowqe.png)
Jeśli wziąć pod uwagę ilość miejsc zerowych i wartość liczby a, to wykresy funkcji kwadratowej mogą wyglądać tak, jak przedstawiono to na rysunku poniżej
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/wykresyFunkcjiKwadratowej.png)
Wierzchołek funkcji kwadratowej
Wierzchołek funkcji kwadratowej jest miejscem, w którym zmienia się jej monotoniczność. Każda parabola ma wierzchołek i jest to punkt. Skoro jest to punkt, tzn. że ma swoje współrzędne, które w wielu publikacjach zapisywane są następująco:
W = (p, q)
gdzie:
p to współrzędna x-owa wierzchołka
q to współrzędna y-owa wierzchołka
Zatem współrzędne wierzchołka możemy zapisać również jako punkt:
W=(xw; yw)
Współrzędne wierzchołka możemy obliczyć ze wzorów:
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/wspolrzedne.png)
Monotoniczność funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa jest monotoniczna przedziałami i monotoniczność zmienia się zawsze w wierzchołku paraboli. Popatrz na przykłady poniżej.
Przykład 1.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/monotonicznosc.png)
Przykład 2.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/monotonicznosc2.png)
Funkcja kwadratowa zadania
Zadanie 1.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/2-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/2-3.png)
Zadanie 2.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/12.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/12.png)
Zadanie 3.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/11.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/11.png)
Zadanie 4.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/10.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/10.png)
Nierówności kwadratowe
Zadanie 1.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/3-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/3-3.png)
Zadanie 2.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/4-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/4-3.png)
Zadanie 3.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/5.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/5.png)
Zadanie 4.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/6.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/6.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/5-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/5-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/6-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/6-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/7-4.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/7-4.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/8-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/8-3.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/9-4-1024x75.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/9-4-1024x75.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/10-2.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/10-2.png)
Wzory Viete’a
Zadanie 1.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/14-1024x117.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/14-1024x117.png)
Zadanie 2.
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/13.png)
![](https://ilonabednarska.pl/wp-content/uploads/2021/11/13.png)