Funkcja kwadratowa

Wprowadzenie do funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem ogólnym:

f(x) = ax² + bx + c

gdzie:

Co oznacza powyższy zapis? Otóż:

Liczba stojąca przy x² należy do zbioru liczb rzeczywistych, ale musi być liczbą różną od zera (nie może być równa zero). Dlaczego? Jeśli pod liczbę a podstawimy zero, to uzyskamy następujące wyrażenie:

f(x) = 0 * x² + bx + c
jeśli cokolwiek mnożymy przez zero, to w rezultacie zawsze otrzymujemy zero, zatem powyższe wyrażenie ma postać:

f(x) = bx + c

czyli otrzymujemy wrażenie liniowe, które w tym przypadku jest funkcją liniową
Zwróć uwagę na to, że mamy tu zapis: f(x). Zapis ten oznacza, że wyrażenie traktujemy jako funkcję, a nie jako równanie czy nierówność kwadratową

Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola. Spójrz na przykładowe wykresy funkcji kwadratowej

Jak widzisz, ramiona paraboli mogą być uniesione do góry lub do dołu. Od czego to zależy?

jeśli a> 0 to ramiona zawsze są uniesione do góry

jeśli a<0 to ramiona paraboli są zawsze opuszczone do dołu

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może mieć:

dokładnie dwa miejsca zerowe
dokładnie jedno miejsce zerowe
brak miejsc zerowych

W celu oceny ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej, należy wyznaczyć deltę. Deltę liczymy ze wzoru:

gdzie a to wartość stojąca przy x², b to wartość stojąca przy x, a c to wyraz wolny

jeśli delta ma wartość większą od zera, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe
jeśli delta ma wartość równą zero, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe
jeśli delta ma wartość mniejszą od zera, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

W tabeli poniżej przedstawiono wzory na obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej w zależności od wartości delty

Jeśli wziąć pod uwagę ilość miejsc zerowych i wartość liczby a, to wykresy funkcji kwadratowej mogą wyglądać tak, jak przedstawiono to na rysunku poniżej

Wierzchołek funkcji kwadratowej

Wierzchołek funkcji kwadratowej jest miejscem, w którym zmienia się jej monotoniczność. Każda parabola ma wierzchołek i jest to punkt. Skoro jest to punkt, tzn. że ma swoje współrzędne, które w wielu publikacjach zapisywane są następująco:

W = (p, q)

gdzie:

p to współrzędna x-owa wierzchołka

q to współrzędna y-owa wierzchołka

Zatem współrzędne wierzchołka możemy zapisać również jako punkt:

W=(x_w; y_w)

Współrzędne wierzchołka możemy obliczyć ze wzorów: